Тангенсоида: полный разбор
\[ y = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]
Она описывает периодические колебания с вертикальными асимптотами и используется в физике, инженерии и тригонометрии.
1. График тангенсоиды
График имеет вид бесконечных ветвей, повторяющихся каждые \( \pi \):
- Периодичность: Основной период \( \pi \).
- Вертикальные асимптоты: Возникают при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).
- Точки пересечения с осями:
- С осью \( X \): \( x = \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).
- С осью \( Y \): \( (0; 0) \).
- Нечётность:
\[ \tan(-x) = -\tan(x) \]
Пример:
\( y = \tan(x) \) — классическая тангенсоида с асимптотами при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \).
2. Область определения и область значений
- Область определения: \( x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).
- Область значений: \( y \in \mathbb{R} \).
3. Свойства тангенсоиды
- Периодичность:
\[ \tan(x + \pi) = \tan(x) \]
- Нули функции:
\[ \tan(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \]
- Экстремумы: Отсутствуют.
- Поведение около асимптот:
- При \( x \to \frac{\pi}{2}^- \): \( \tan(x) \to +\infty \).
- При \( x \to \frac{\pi}{2}^+ \): \( \tan(x) \to -\infty \).
4. Построение графика
Алгоритм:
- Отметьте вертикальные асимптоты.
- Постройте ветвь на промежутке \( \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) \).
- Продолжите график с учётом периодичности.
Пример таблицы для \( y = \tan(x) \):
| \( x \) | \( -\frac{\pi}{4} \) | 0 | \( \frac{\pi}{4} \) |
|---|---|---|---|
| \( \tan(x) \) | -1 | 0 | 1 |
5. Примеры задач
Задача 1: Найти период функции
Задача: Какой период у \( y = \tan(2x) \)?
\( T = \frac{\pi}{2} \)
Задача 2: Решить уравнение
Задача: Решите \( \tan(x) = 1 \).
\( x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \)
6. Преобразования тангенсоиды
\[ y = A \cdot \tan(Bx + C) + D \]
- \( A \) — вертикальное растяжение.
- \( B \) — период \( T = \frac{\pi}{|B|} \).
- \( C \) — горизонтальный сдвиг.
Примеры преобразований:
\( y = 2\tan(x) \) — вертикальное растяжение.
\( y = \tan\left(\frac{x}{2}\right) \) — период \( 2\pi \).