Синусоида: полный разбор
\[ y = \sin(x) \]
Она описывает периодические колебания и широко применяется в физике, инженерии и других науках.
1. График синусоиды
График имеет вид волнообразной кривой с характерными свойствами:
- Периодичность: Повторяется каждые \( 2\pi \).
- Амплитуда: Максимальное отклонение от оси \( X \) равно 1.
- Фаза: Начальная точка при \( x = 0 \): \( (0; 0) \).
- Точки пересечения с осями:
- С осью \( X \): \( x = \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).
- С осью \( Y \): \( (0; 0) \).
Пример:
\( y = \sin(x) \) — классическая синусоида с амплитудой 1 и периодом \( 2\pi \).
2. Область определения и область значений
- Область определения: \( x \in \mathbb{R} \).
- Область значений: \( y \in [-1; 1] \).
3. Свойства синусоиды
- Периодичность:
\[ \sin(x + 2\pi) = \sin(x) \]
- Нечётность:
\[ \sin(-x) = -\sin(x) \]
- Нули функции:
\[ \sin(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pi n \]
- Экстремумы:
- Максимум: \( \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = 1 \).
- Минимум: \( \sin\left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right) = -1 \).
4. Построение графика
Алгоритм:
- Отметьте ключевые точки на отрезке \( [0; 2\pi] \).
- Продолжите график с учётом периодичности.
Пример таблицы для \( y = \sin(x) \):
| \( x \) | 0 | \( \frac{\pi}{2} \) | \( \pi \) | \( \frac{3\pi}{2} \) | \( 2\pi \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( \sin(x) \) | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
5. Примеры задач
Задача 1: Найти период функции
Задача: Какой период у \( y = \sin(3x) \)?
\( T = \frac{2\pi}{3} \)
Задача 2: Решить уравнение
Задача: Решите \( \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
\( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \) или \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \).
6. Преобразования синусоиды
\[ y = A \cdot \sin(Bx + C) + D \]
- \( A \) — амплитуда.
- \( B \) — период \( T = \frac{2\pi}{|B|} \).
- \( C \) — горизонтальный сдвиг.
Примеры преобразований:
\( y = 3\sin(2x) \) — период \( \pi \).
\( y = \sin(x - \frac{\pi}{4}) \) — сдвиг вправо.