Функция модуля: полный разбор
\[ y = |x| \]
Она возвращает неотрицательное значение числа \( x \). Если \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \), если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \).
1. График функции модуля
График имеет форму «галочки» (V-образной кривой):
- Ветви:
- Правая: \( y = x \) (для \( x \geq 0 \)).
- Левая: \( y = -x \) (для \( x < 0 \)).
- Симметрия: Относительно оси \( Y \).
Пример:
Точки: \( (-2; 2) \), \( (-1; 1) \), \( (0; 0) \), \( (1; 1) \), \( (2; 2) \).
2. Область определения и область значений
- Область определения: \( x \in \mathbb{R} \).
- Область значений: \( y \geq 0 \).
3. Свойства функции
- Чётность: \( |{-x}| = |x| \).
- Монотонность:
- Убывает при \( x \leq 0 \).
- Возрастает при \( x \geq 0 \).
- Минимум: \( (0; 0) \).
4. Построение графика
Алгоритм:
- Отметьте вершину \( (0; 0) \).
- Постройте правую ветвь \( y = x \).
- Постройте левую ветвь \( y = -x \).
Пример таблицы для \( y = |x| \):
| \( x \) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( y \) | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
5. Примеры задач
Задача 1: Решение уравнения
Условие: \( |2x - 4| = 6 \).
\[ x = -1; \quad x = 5 \]
Задача 2: Построение графика
Условие: \( y = |x^2 - 4| \).
1. Постройте параболу. 2. Отразите часть ниже оси \( X \).
6. Преобразования графика
- Сдвиги:
- \( y = |x - 3| + 2 \) — вправо на 3, вверх на 2.
- Растяжение:
\( y = 2|x| \) — растяжение в 2 раза.